Кодирование числовой информации: позиционные и непозиционные системы счисления. Двоичная система счисления

         1. Алгоритмы перевода чисел        

        1.1. Перевод десятичного числа в систему счисления с основанием q и обратно

       1.2. Перевод чисел из двоичной системы счисления в систему счисления с основанием 2ⁿ

       1.3. Перевода чисел из  систем счисления с основанием 2ⁿ в двоичную систему

          2.  Арифметические операции в позиционных системах счисления

          2.1. Арифметические операции в двоичной системе счисления

        2.2. Арифметические операции в восьмеричной системе счисления

          3. Компьютерное представление чисел

          3.1. Представление целых чисел в формате с фиксированной запятой

        3.2. Представление вещественных  чисел в формате  с плавающей запятой

Рассмотрим, как кодируется числовая информация. С числами связано важное понятие  системы счисления. Система счисления – способ наименования и изображения чисел с помощью знаков (символов), имеющих определенные количественные значения. Все системы счисления делятся на две группы: позиционные и непозиционные системы счисления. Для записи чисел в различных системах счисления используется некоторое количество отличных друг от друга знаков.

В позиционной системе счисления количественное значение каждой цифры зависит от ее места  (позиции) в числе. В непозиционной системе счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе.

Наиболее известным примером непозиционной системы счисления является римская. В качестве цифр этой системе счисления используется семь знаков: I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000). Значение цифры не зависит от ее положения в числе. Например, в числе ХХХ (30) цифра Х встречается трижды и в каждом случае обозначает одну и ту же величину – число 10, три числа по 10 в сумме дают 30.

Первая позиционная система счисления была придумана еще в Древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричной, то есть в ней использовалось шестьдесят цифр! Интересно, что до сих пор при измерении времени мы используем основание, равное 60. Наиболее распространенными в настоящее время позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Каждая позиционная система счисления имеет определенный алфавит и основание. Десятичная система счисления имеет алфавит, который состоит из десяти всем известных арабских цифр от 0 до 9 и основание, равное 10, восьмеричная – восемь цифр от 0 до 7 и основание 8, шестнадцатеричная – десять цифр от 0 до 9 и шесть первых заглавных букв латинского алфавита A,B,C,D,E,F.

Примеры чисел, представленных в позиционных системах счисления: 975,48₁₀, 34₈, 41D₁₆, 10110_2.  Позиционный характер этих систем легко понять на примере развернутой формы  записи одного из чисел:

975,48₁₀=9х10²+7х10¹+5+10⁰+4х10^-1+8х10^-2

Количество различных знаков, используемых для изображения числа в позиционной системе счисления, называется основанием системы счисления.

В общем случае запись любого смешанного числа в системе счисления с основанием q будет иметь вид (формула 1):

А_q=a_n-1 • q^n-1 + a_n-2 • q^n-2 + …+ a₀ • q⁰ +a_-1 • q^-1 + a_-2 • q^-2 + …+ a_-m • q^-m

Здесь  Аq – само число, q – основание системы счисления, а – цифры данной системы счисления, n – число разрядов целой части числа, m – число разрядов дробной части числа.

Существуют алгоритмы перевода чисел из одних систем счисления в другие.

1. Алгоритмы перевода чисел

    1.1  Алгоритм  перевода десятичного числа в систему счисления с основанием q и обратно

Для перевода смешанного числа следует переводить его целую и дробную части отдельно:

1.     Для перевода целой части (или простого целого) числа необходимо разделить его на основание системы счисления q и продолжать делить частные от деления до тех пор, пока частное не станет равным 0. Значения получившихся остатков, записанные в обратной последовательности, образуют целую часть числа с основанием q.

2.     Для перевода дробной части числа (или числа, у которого «0» целых) необходимо умножить ее на основание q. Затем, отбрасывая у результата целую часть, продолжать процесс умножения до тех пор, пока дробная часть произведения не окажется равной нулю или не будет достигнута нужная точность дроби. Целые части произведений, записанные после запятой в прямой последовательности (начиная с первого),  образуют дробную часть числа в системе счисления с основанием q.

Рассмотрим перевод смешанного числа из десятичной в двоичную систему счисления на примере числа 46,625.

1.      Переводим целую часть числа:

                Остаток

46:2=23         0

23:2=11         1

11:2=5          1

  5:2=2          1

  2:2=1          0

  1:2=0          1

Запишем остатки, начиная с последнего -  101110, т.е. 46₁₀=101110₂

2. Переводим дробную часть числа:

0,625 × 2=1,250

0,250 × 2=0,500

0,500 × 2=1,000

Запишем целые части произведений, начиная с первого – 0,101, т.е. 0,625₁₀ = 0,101₂

Ответ: 46,625₁₀ = 101110,101₂

Для того чтобы выполнить обратное преобразование, необходимо число в системе счисления с основанием q записать в развернутом виде и выполнить необходимые вычисления. 

Рассмотрим перевод двоичного числа 101110,101₂ в десятичное число. Для этого запишем это двоичное число в развернутом виде, используя формулу:

А_q=a_n-1 • q^n-1 + a_n-2 • q^n-2 + …+ a₀ • q⁰ +a_-1 • q^-1 + a_-2 • q^-2 + …+ a_-m • q^-m

и выполним необходимые вычисления.

Основание системы: q=2, число разрядов целой части числа: n=6,  число разрядов дробной  части числа: m=3, цифры двоичной системы счисления а представлены нулем или единицей.

101110,101₂=1×2⁵+0×2⁴+1×2³+1×2²+1×2¹+0×2⁰+1×2^-1+0×2^-2+1×2^-3 =32+0+8+4+2+0+1/2+0+1/8=46,625₁₀

  Рассмотрим перевод шестнадцатеричного числа 9D,1₁₆ в десятичное:

9D,1₁₆=9×16¹+13×16⁰+1×16^-1=144+13+1/16=157,0625₁₀

 1.2.  Алгоритм перевода чисел из двоичной системы счисления в систему счисления с основанием 2ⁿ

Для того чтобы записать смешанное двоичное число в системе счисления с основание q=2ⁿ, нужно:

1.      Целую часть данного двоичного числа разбить справа налево, а дробную – слева направо на группы по n цифр в каждой. Если в последних левой и/или правой группах окажется меньше n разрядов, то их надо дополнить слева и/или справа нулями до нужного числа разрядов.

2.  Рассмотреть каждую группу как n-разрядной двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2ⁿ.

Рассмотрим перевод смешанного двоичного числа  111100101,0111₂ в восьмеричную систему счисления.

Разбиваем целую и дробную части двоичного числа на триады и над каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:

 Ответ: 111100101,0111₂ = 745,34₈

 1.3.  Алгоритм перевода чисел из  систем счисления с основанием 2ⁿ в двоичную систему

Для того чтобы записать смешанное число, записанное  в системе счисления с основание q=2ⁿ, перевести в двоичную систему счисления, нужно каждую цифру этого числа заменить ее n-значным эквивалентом в двоичной системе счисления.

Рассмотрим перевод шестнадцатеричного числа 4AC,35₁₆ в двоичную систему счисления.

В соответствии с алгоритмом запишем:

Ответ: 4AC,35₁₆ = 10010101100,00110101₂

  2.  Арифметические операции в позиционных системах счисления

Основные достоинства любой позиционной системы счисления -  простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов (цифр), необходимых для записи любых чисел.

   Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же правилам, что и в десятиной системе, так как они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые соответствуют данному основанию q системы счисления.

 2.1.  Арифметические операции в двоичной системе счисления

Сложение производится согласно таблице сложения, которая для двоичных чисел имеет вид:

При сложении двух единиц происходит переполнение разряда и в данном разряде остается 0, а 1 переносится в следующий старший  разряд. Примеры сложения двоичных чисел:

Вычитание производится согласно таблице вычитания, которая для двоичных чисел имеет вид:

В основе умножения лежит  таблица умножения одноразрядных двоичных чисел: 

Примеры умножения двоичных чисел:

Операция деление производится по тем же правилам, как и деление в десятичной системе счисления. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, так как очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.   

Примеры деления двоичных чисел:

2.2. Арифметические операции в восьмеричной системе счисления

 Таблицы сложения и умножения для системы счисления с основанием q=8: 

 Примеры операций с числами в восьмеричной системе счисления:

3)  1740₈ х 32,5₈ =  63462,52₈       4) 462,2₈ : 31₈= 14,2₈

 3. Компьютерное представление чисел

 Информация в памяти ЭВМ записывается в форме цифрового двоичного кода. С этой целью ЭВМ содержит большое количество ячеек памяти и регистров (от лат. regestum – внесенное, записанное) для хранения двоичной информации. Ячейка – это часть памяти, вмещающая в себя информацию, доступную для обработки отдельной командой процессора. Наибольшую последовательность бит, которую компьютер может обрабатывать как единое целое (содержимое ячейки памяти), называют машинным словом.

Элементарная ячейка памяти ЭВМ имеет длину 8 бит (1 байт). Каждый байт имеет свой номер (его называют адресом). Длина машинного слова зависит от разрядности процессора и может быть равной 16, 32, 64 битам и т.д. Адрес машинного слова в памяти компьютера равен адресу младшего байта, входящего в это слово.  Машинное  слово, состоящее из 16 бит (2-х байт) представлено на рис.1. Разряды нумеруются справа налево, начиная с 0. Самый левый является старшим разрядом (на рисунке  с номером 15), самый правый – младшим (на рисунке с номером 0).

                     Рис. 2. Бит, байт, слово

В вычислительной технике используются два  формата представления двоичных чисел:

-              с фиксированной запятой (точкой);

-              с плавающей запятой (точкой).

Формат с фиксированной запятой применяется к целым числам, формат с плавающей запятой  - к вещественным (действительным) числам.

  3.1. Представление целых чисел в формате с фиксированной запятой

Множество целых чисел, представимых в памяти ЭВМ, ограничено. Диапазон значений зависит от размера ячеек памяти, используемых для их хранения.

Так в n-разрядной ячейке может храниться 2ⁿ различных значений целых чисел. Так в 8-разрядной ячейке может храниться 2⁸=256 различных значений, в 16-разрядной – 2¹⁶=65536 различных значений.

Целые числа могут представляться в компьютере без знака и со знаком.

Целые числа без знака. Обычно занимают в памяти компьютера один или два байта. Максимальное значение целого числа без знака (положительного числа) достигается в случае, когда во всех ячейках  хранятся единицы. Для n-разрядного представления оно будет равно .Для 8-разрядной ячейки максимальное значение целого положительного числа достигается в  случае, когда во всех ячейках хранятся единицы и равно. Минимальное число соответствует восьми нулям, хранящимся в восьми битах ячейки памяти, и равно нулю. Следовательно, в 8-разрядной ячейке диапазон изменения целых  чисел без знака: от 0 до 255. В 16-разрядной ячейке - от 0 до 65535 (всего 65536 значений).

Так, число 11100001₂ будет храниться в 8-разрядной ячейке памяти следующим образом:

В 16-разрядном представлении число 2006₁₀=11111010110₂ будет храниться следующим образом:

   Итак, чтобы получить внутреннее представление целого числа без знака А, хранящегося в n-разрядном машинном слове, необходимо:

1)   перевести число А в двоичную систему счисления;

2)   полученный результат дополнить слева незначащими нулями до n разрядов.

Целые числа со  знаком: прямой, обратный и дополнительный коды. Целые числа со знаком обычно занимают в памяти компьютера один, два или четыре байта.  Для хранения целых чисел со знаком старший (левый) разряд в машинном слове отводится под знак числа (если число положительное, то в знаковый разряд записывается ноль, если число отрицательное – единица). Ровно половина из всех 2ⁿ  чисел будут отрицательными; учитывая необходимость нулевого значения, положительных будет на единицу меньше.

Максимальное положительное число (с учетом выделения одного разряда на знак) для целых чисел со знаком в n-разрядном представлении равно . Минимальное отрицательное  число (с учетом выделения одного разряда на знак) для целых чисел со знаком в n-разрядном представлении равно -.

Диапазоны значений целых чисел со знаком:

-         в 8-разрядной ячейке: от -128 до 127;

-         в 16-разрядной ячейке: от -32 768 до 32 767;

-         в 32-разрядной ячейке: от -2 147 483 648 до 2 147 483 647.

   Для представления отрицательного числа используется дополнительный код. Дополнительный код положительного числа совпадает с его прямым кодом.

   Прямой код целого положительного числа может быть получен следующим образом: число переводится в двоичную систему счисления, а затем его двоичную запись слева дополняют необходимым количеством нулей в соответствии с разрядностью машинного слова. Например, прямой код числа 37₁₀=100101₂ в 16-разрядной ячейке будет иметь вид 0000000000100101.

   Для записи внутреннего представления целого число со знаком (-А) необходимо:

1)   модуль числа записать в прямом коде в n двоичных разрядах;

2)     получить обратный код числа, для этого значения всех  бит инвертировать – все единицы заменить на нули  и все нули заменить на единицы);

3)  к полученному обратному коду прибавить единицу. Получим дополнительный код целого числа со знаком.

   Например, внутреннее представление целого отрицательного числа -1607 в 16-разрядной ячейке запишется следующим образом: 1111 1001 1011 1001. Так как:

1)     а) ½-1607½=1607₁₀=11001000111₂

   б) прямой код в 16-разрядной ячейке:

          0000 0110 0100 0111

2)  обратный код:

          1111 1001 1011 1000

   3) дополнительный код (результат прибавления 1):

           1111 1001 1011 1001 – это внутренне двоичное представление числа (-1607).

 3.2. Представление вещественных  чисел в формате  с плавающей запятой

Числовые величины, которые могут принимать любые значения (целые и дробные) называются вещественными числами. В математике также используется термин «действительные числа». Решение большинства математических задач сводится к вычислениям с вещественными числами. Вещественные числа в памяти компьютера представляются в форме с плавающей точкой.

Форма с плавающей точкой использует представление вещественного числа А в виде произведения мантиссы m на основание системы счисления q в некоторой целой степени p, которую называют порядком:

А=m x q^p

   Например, число 139,76 можно записать в виде: 0,13976х10³. Здесь m=0,13976 – мантисса, p=3 – порядок. Порядок указывает, на какое количество позиций и в каком направлении должна «переплыть», т.е. сместиться десятичная  в мантиссе. Отсюда название «плавающая точка». Однако справедливы и следующие равенства:

139,76=13,976х10¹ = 1,3976х10² = 0,013976х10⁴ = 13976 х10^-2

Получается, что представление числа в форме с плавающей точкой неоднозначно? Чтобы не было неоднозначности, в ЭВМ используют нормализованное представление числа в форме с плавающей точкой. Мантисса в нормализованном представлении должна удовлетворять условию:

0.1_q  £m< 1_q ,

то есть мантисса меньше единицы и первая значащая цифра - не ноль. Следовательно, для рассмотренного числа нормализованным представлением будет: 0,13976х10³.

   В разных типах ЭВМ применяются различные варианты представления чисел в форме с плавающей точкой. Для примера рассмотрим один из возможных.

   Пусть в памяти компьютера вещественное число представляется в форме с плавающей точкой в двоичной системе счисления (q=2) и занимает ячейку размером 4 байта. В ячейке должна содержаться следующая информация о числе: знак числа, порядок и значащие цифры мантиссы. Вот как эта информация располагается в ячейке:

   1-й байт                        2-й байт            3-й байт               4-й байт      

В старшем бите 1-го байта хранится знак числа. В этом разряде 0 обозначает плюс, 1 – минус. Оставшиеся 7 бит первого байта содержат машинный порядок. В следующих трех байтах хранятся значащие цифры мантиссы.

   Что такое машинный порядок? В семи двоичных разрядах помещаются двоичные числа в диапазоне от 0000000 до 1111111. В десятичной системе это соответствует диапазону от 0 до 127. Всего 128 значений. Знак порядка в ячейке не хранится. Но порядок, очевидно, может быть как положительным, так и отрицательным. Разумно эти 128 значений разделить поровну между положительными и отрицательными значениями порядка. В таком случае между машинным порядком и истинным (назовем его математическим) устанавливается следующее соответствие:

Если обозначить машинный порядок М_q, а математический q, то связь между ними выразится формулой:

М_{q =} q + 64

Итак, машинный порядок смещен относительно математического на 64 единицы и имеет только положительные значения. Полученная формула записана в десятичной системе счисления. В двоичной системе счисления формула имеет вид:

М_{q =} q + 1000000₂

При выполнении вычислений с плавающей точкой процессор это смещение учитывает.

Таким образом, из вышесказанного вытекает следующий алгоритм для получения представления действительного числа в памяти ЭВМ:

1)      Перевести модуль данного числа в двоичную систему счисления;

2)      Записать полученное двоичное число в нормализованном виде;

3)      Определить машинный порядок с учетом смещения;

4)      Учитывая знак заданного числа (0 – положительное; 1 – отрицательное), записать его представление в памяти ЭВМ.

Например, запишем внутреннее представление числа 139,76 в форме с плавающей точкой в 4-х байтовой ячейке:

1)   Переведем десятичное 139,76 и запишем его 24-значащими цифрами:

139,76₁₀ = 10001011,1100001010001111₂

 2) Запишем полученное двоичное число в форме   нормализованного двоичного числа с плавающей точкой:

10001011,1100001010001111₂ = 0,100010111100001010001111₂ х10¹⁰⁰⁰,    

  где 0,100010111100001010001111₂ – мантисса;

     10 – основание системы счисления      (2₁₀=10₂);

     1000 – порядок (8₁₀=1000₂).

3)  Определим машинный порядок:

Mq₂ = 1000 + 1000000 = 1001000

4)     Запишем представление числа в ячейке памяти:

Для того чтобы получить внутренне представление отрицательного числа -139,76₁₀  достаточно в полученном выше представлении заменить в разряде знака числа 0 на 1. Никакого инвертирования, как для отрицательных целых чисел, здесь не происходит.

Задачи и упражнения

 1.      Переведите целые числа из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:

а) 231     б) 564         в) 1023         г) 4096.

2.      Переведите в десятичную  систему счисления

а) двоичные числа: 10011101, 1100101001110, 1011110010101111;

б) восьмеричные числа: 321, 2367, 53621;

в) шестнадцатеричные числа: 3А, В14, 4А4С, А55DD.

3.      Переведите десятичные дроби в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления: 0,5; 0,125; 0,654.

4.      Переведите смешанные десятичные числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления, оставив пять знаков в дробной части нового числа:21,5; 432,54; 678,333.

5.      Сложите, вычтите, умножьте и разделите двоичные числа 11010101₂ и 1110_2.

6.      Выполните арифметические операции:

а) 1100000011,011₂ х 101010111,1₂

б) 1510,2₈ – 1230,54₈

в) 3B3,8₁₆+38B,4₁₆

7.      Получите двоичную форму внутреннего представления целых чисел 1689 и -1689 в 2-х байтовой ячейке.

8.      Получите двоичную форму внутреннего представления действительных чисел 224,25 и -224,25 в формате с плавающей точкой в 4-х байтовой ячейке.

9.  Запишите в десятичной системе счисления целое число, если его дополнительный код 1000000110101110.